📐Effektivzins nach PAngV

Warum 3,50 % Sollzins 3,56 % effektiv sind – und wie Disagio und Gebühren den effektiven Jahreszins nach der Preisangabenverordnung erhöhen.

Unverbindliche Beispielrechnung. VisualKreditRechner ist eine Lern-App: Alle Ergebnisse sind vereinfachte Modellrechnungen mit erfundenen Beispielwerten. Sie sind kein Angebot und ersetzen keine Finanzierungs- oder Anlageberatung. Verbindlich sind nur Vertrag und ESIS-Merkblatt bzw. Europäische Standardinformationen deines Kreditgebers.

Sollzins (nominal)

3,50 %

Zinssatz im Vertrag, p. a.

Effektiver Jahreszins

3,56 %

ungerundet 3,55669 %

Auszahlungsbetrag

300.000,00 €

von 300.000,00 € nominal

Newton-Schritte

konvergiert (|Δ| < 10⁻¹²)

① Nominal vs. effektiv – schon ohne Nebenkosten

Der Sollzins ist ein nominaler Jahreszins. Bei monatlicher Zahlung wird jeden Monat 1/12 davon berechnet – und die Zahlung erfolgt früher als am Jahresende. Auf ein Jahr hochgerechnet ergibt das einen höheren effektiven Zins:

X = (1 + p / 12)¹² − 1

= (1 + 3,50 % / 12)¹² − 1 = 3,5567 %

→ gerundet (PAngV, 2 Stellen): 3,56 %

Ohne Nebenkosten liefert die PAngV-Gleichung für ein Annuitätendarlehen mit Monatsraten genau diesen Wert – die Rundung der Zinsen auf Cent verändert ihn nur in der 5. Nachkommastelle.

1.000 € ein Jahr: Mit Zinseszins auf Monatsbasis werden daraus 1.035,57 € – also effektiv 3,5567 %.

② Die Grundgleichung der PAngV

Σ C_k · (1 + X)^−t_k = Σ D_l · (1 + X)^−s_l

Barwert aller Auszahlungen an den Kunden = Barwert aller Zahlungen des Kunden

C_k: Auszahlungen – hier eine: 300.000,00 € bei t = 0
D_l: Raten + Restschuld am Ende der Zinsbindung – 120 Zahlungen
t, s: Zeitpunkte in Jahren; ein Jahr = 12 Standardmonate (365/12 = 30,41666 Tage) → Monat m liegt bei s = m/12
X: effektiver Jahreszins – die gesuchte Nullstelle

Grün nach oben: Auszahlung an den Kunden. Orange nach unten: Summe der Raten je Jahr (Tooltip beim Überfahren). Blau: Jahr mit fiktiver Schlusszahlung der Restschuld.

③ Nullstelle mit dem Newton-Verfahren

Startwert X₀

f(X) = Σ C·(1+X)^−t − Σ D·(1+X)^−s

X_n+1 = X_n − f(X_n) / f′(X_n)

Blau: f(X) in Abhängigkeit vom Zins. Jede farbige Linie ist eine Tangente im Punkt Xₙ; wo sie die Nulllinie schneidet, liegt Xₙ₊₁. Grün: die Lösung.

n	Xₙ	f(Xₙ) in €	f′(Xₙ) in €	Xₙ₊₁
1	5,0000000000 %	29.550,923953	1.910.133,54	3,4529393677 %
2	3,4529393677 %	-2.285,886234	2.214.212,01	3,5561763757 %
3	3,5561763757 %	-11,344300	2.192.276,41	3,5566938424 %
4	3,5566938424 %	-0,000283	2.192.167,08	3,5566938553 %
5	3,5566938553 %	0,000000	2.192.167,08	3,5566938553 %

Ergebnis X = 3,556694 % → nach PAngV auf zwei Dezimalstellen gerundet (ab der dritten Stelle ≥ 5 aufrunden): 3,56 %. Newton konvergiert quadratisch – die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr mit jedem Schritt.

📚 Quelle & Einordnung

Preisangabenverordnung (PAngV 2022), § 6 und Anlage zu § 6 „Berechnung des effektiven Jahreszinses“: gesetze-im-internet.de/pangv_2022 – Grundgleichung, Zeitabstände in Jahren (12 Standardmonate zu 30,41666 Tagen), Rundung auf zwei Dezimalstellen.
Welche Kosten in den Effektivzins einfließen, regelt § 6 PAngV. Hier werden beispielhaft nur Disagio und einmalige Gebühren betrachtet; Bereitstellungszinsen und Kosten für Sicherheiten sind nicht enthalten.
Die App rechnet mit einem einzigen Auszahlungszeitpunkt (sofortige Vollauszahlung) und monatlichen Raten ab dem ersten Monat.